Colles de mathématiques !

  1. Enoncé des propriétés d’intersection et de reunion, énoncé de démonstration des lois de Morgan et des propriétés de la distributivité.

  2. Soient les applications et . Si f et g sont injectives (resp. surjectives, bijectives) alors gof l’est aussi. Tentative de réciproque.

  3. Enoncé et démonstration du théorème de la réciproque d’une bijection.

  4. Définition image directe, réciproque et propriétés.

  5. Fonction caractéristique d’une partie : propriétés.

  6. Montrer que racine de 2 est un irrationnel.

  7. Relation d’équivalence, classes d’équivalence, partition

  8. Relation d’ordre, relation d’ordre totale.

  9. Propriétés fondamentales de . Théorème de récurrence : énoncé, démonstration.

  10. Formule du binôme de Newton. Factorisation de , énoncé et démonstration. Somme d’une progression arithmétique, géométrique.

  11. Borne supérieure : définition, lien avec la notion de maximum. Propriété et critère de la borne supérieure.

  12. Les parties convexes de ont les intervalles.

  13. Enoncé de la propriété d’Archimède. Pour donné, décomposition unique d’un réel x sous la forme , et : démonstration. Notion de partie entière.

  14. Densité de et de dans .

  15. Définition de la convergence d’une suite réelle. La limite, si elle existe est unique.

  16. Toute suite convergente est bornée.

  17. Toute suite de nombres réels convergeant vers un nombre réel strictement positif est minorée à partir d’un certain rang par un réel strictement positif.

  18. Définition d’une suite extraite. Lien entre convergence d’une suite et convergence de ses suites extraites.

  19. Toute suite croissante et majorée converge et . Extension au cas d’une suite croissante non majorée.

  20. Suites adjacentes. Les 2 théorèmes qui suivent.

  21. Enoncés des propriétés du module. Démonstration du module d’un produit et des inégalités triangulaires, avec cas d’égalité pour la première.

  22. Définition depouret énoncé des propriétés. Définition de l’argument d’un complexe non nul. Module et argument de.

  23. Calcul de et de .

  24. Expression de cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x).

  25. Racines nèmes de l’unité.

  26. Définition d’une fonction définie au voisinage d’un point a € IR. Limite finie en un point a € IR. La limite si elle existe est unique.

  27. Propriété vraie au voisinage de . Une fonction qui admet une limite finie en a est bornée au voisinage de a. Soit m une réel. Une application qui admet une limite l>m en est minorée par m au voisinage de a € .

  28. Limites infinies.

  29. Somme, produit de fonctions tendant vers 0. Combinaisons linéaires et produit de fonctions admettant une limite finie.

  30. Théorèmes de composition des limites.

  31. Fonctions monotones et limites.

  32. Fonctions lipchitziennes.

  33. Théorèmes des valeurs intermédiaires (la preuve n’est pas exigible).

  34. Réciproque d’une fonction continue.

  35. Fonctions continues sur un segment (la preuve n’est pas exigible).

  36. Fonctions uniformément continues sur I. Théorème de Heine (les preuves ne sont pas exigibles).

  37. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point. Dérivation d’une fonction composée.

  38. Définition d’une fonction de classe C1. Exemple de la fonction :

  39. Dérivabilité d’une bijection réciproque.

  40. Formules de Leibniz.

  41. Extremum local. Théorème de Rolle.

  42. Théorème des Accroissements Finis (+autre écriture). Application à la détermination d’un équivalent de ∑1/k.

  43. Théorème de la limite de la dérivée : condition suffisante de dérivabilité d’une fonction en un point + exemple.

  44. Fonctions arcsinus, arcosinus : définitions, relations fondamentales.

  45. Dérivabilité et représentations graphiques de arcos, arcsin et arctan.

  46. Fonctions hyperboliques : ch, sh et th.

  47. Définition d’un sous-groupe, détermination des sous-groupes de .

  48. Définition du noyau et de l’image d’un morphisme de groupes. Lien avec l’injectivité et la surjectivité.

  49. Image directe, image réciproque d’un sous-groupe par un morphisme de groupes. Cas particuliers du noyau et de l’image.

  50. Vocabulaire des anneaux.

  51. Inégalité de convexité : énoncé et preuve du théorème. Ex : comparaison des moyennes arithmétique et géométrique.

  52. Caractérisation des fonctions convexes par la croissance des pentes, des cordes : énoncé du théorème. Enoncé du corollaire + exemple.

  53. Sous-espace vectoriel : définition, test, exemples.

  54. Image directe, image réciproque d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire.

  55. Somme de F+G de 2 sous-espaces vectoriels. Sous-espaces supplémentaires. Somme directe : F*G.

  56. Détermination des formes linéaires sur Kn.

  57. Intersection de famille de sous-espaces vectoriels, sous-espace vectoriel engendré par une partie : cas particulier d’un ensemble fini.

  58. Théorème de la division euclidienne.

  59. Racines d’un polynômes. Lien avec la divisibilité, généralisation au cas de p racines distinctes. Majoration du nombre de racines, condition de nullité, exemples.

  60. Racines multiples. Ordre de multiplicité d’une racine. Lien avec la divisibilité, généralisation au cas de p racines distinctes. Application au nombre de racines comptées avec leur ordre de multiplicité.

  61. Définition d’un polynôme scindé sur K. Enoncé des relations entres les coefficients et les racines.

  62. Formule de Taylor.

  63. Caractérisation de l’ordre d’une racine à l’aide des polynômes dérivés.

  64. Sous-espace vectoriel d’un K espace vectoriel de dimension finie.

  65. Existence de supplémentaires ; Dimension des supplémentaires

  66. Enoncé de la formule de Grassman ; Application aux supplémentaires.

  67. Image d’une base par un isomorphisme.

  68. Détermination d’une application linéaire sur une base ; Dimension de L(E,F).

  69. Théorème du rang + Formule du rang. Caractérisation des isomorphismes.

  70. Définition de Mat(u,e,f) associée à une application linéaire u d’espace vectoriel E muni d’une base e dans un espace vectoriel F muni d’une base f ; L’application est un isomorphisme de L(E,F) sur Mn,p(K).

  71. Définition d’une matrice de présentation d’une famille de vecteurs dans une base. Condition d’inversibilité. Matrice de passage d’une base dans une autre.

  72. Effet d’un changement de base sur les coordonnées d’un vecteur.

  73. Effet d’un changement de base(s) sur la matrice d’une application linéaire et sur la matrice d’un endomorphisme.

  74. Les fonctions positives continues sur un segment d'integrale nulle sont nulles: énoncé du resultat et discussion des hypothèses + preuve.

  75. Inegalité de Cauchy-Schwarz + cas d'égalite + énoncé du résultat + exemple + preuve.

  76. Théorème fondamental : énoncé + preuve + application au cas : .

  77. Integration par parties : énoncé + exemple à choisir entre:

  78. Formule de Taylor avec le reste intégral. Inégalité de Taylor-Lagrange.

  79. Rang d'une matrice. Lien avec le rang d'une application linéaire. Matrices équivalentes, matrices semblables.

  80. Une matrice de Mn,p(IK) est de rang r si et seulement si elle est équivalente à Jn,p,r. Invariance du rang par transposition.
  81. Détails | Division euclidienne. Sous groupe de .

  82. Définition du PGCD, algorythme d'Euclide

  83. Théorème de Bezout et de Gauss

  84. Résolution dans Z de léquation ax + by = c

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