Division euclidienne. Sous groupe de (Z, +) !

1. Division euclidienne dans .

   • Théorème

     Soient et . Il existe un unique couple (q,r) d'entiers relatifs tel que :
     . q et r s'appelent respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de b par a.

   • Remarques

     1. qa est le plus grand des multiples de a inférieurs ou égaux à b.

     2. Dans la pratique, le quotient et le reste se calcule en utilisant la partie entière.
        et
        En effet, comme a>0 :

     3. 

        • supposons r=0
          Comme b = qa, alors a|b

        • Supposons a|b
          Il existe tel que b = ka
          L'unicité de la division euclidienne assure : q=k et r = 0

   • Preuve

     1. Unicité

        Supposons qu'il existe deux couples (q,r), (q',r') d'entiers relatifs tels que :
        b = qa + r et
        b = q'a + r' et
        Cela donne : (q – q')a=r' – r (*)
        et ainsi : |q-q'|a = |r – r'|
        Puisque r et r' appartiennent tous les deux à {0,...,a-1}, leur distance est strictement inférieure à a. En divisant par a>0, il vient |q – q'|<1. Comme q et q' sont deux entiers, ils sont égaux. (*) impose alors r = r'

     2. Existence

        • cas 1 :
          Posons . Ω est une partie de IN non vide () et majorée par b. En effet si , on a . Ω possède donc un plus grand élément q. Puisque q + 1 n'appartient pas à Ω, il vient b< (q+1)a
          r = b – qa est donc un entier vérifiant : .

        • cas 2 :
          On se ramène au cas 1 en considérant b' = b + |b|a
          Comme . Il existe donc un entier naturel q et tels que b' = qa + r. Cela donne : b = (q - |b|)a + r
          
          
2. Théorème : Les sous groupe de (Z,+)
1. Pour tout entier naturel a, est un sous groupe de (Z, +)
2. Réciproquement, si H est un sous groupe de (Z,+), il existe un unique entier naturel a tel que : H = .
   
   
• Preuves : Cf cours sur groupe